파산 위험: 생존 여부를 결정하는 수학

대부분의 트레이딩 조언은 엣지를 찾는 것에 관한 것입니다. 이 글은 그 엣지를 쓸 수 있을 만큼 오래 살아남을지를 결정하는 것에 관한 것입니다. 파산 위험(Risk of ruin)은 다음의 단 하나의 질문에 답하는 트레이딩 수학의 한 분야입니다: 당신의 엣지, 베팅 규모, 그리고 피할 수 없이 마주할 변동성이 주어졌을 때, 전략이 결실을 맺기 전에 파산할 확률은 얼마인가? 불편한 진실은, 수익을 내는 트레이더와 계좌를 날린 트레이더가 정확히 같은 전략을 쓸 수 있다는 것입니다. 차이는 대개 엣지가 아닙니다. 거래당 얼마를 걸었는지, 그리고 생존의 수학이 애초에 자신의 편이었는지가 차이를 만듭니다.

이 사이트의 다른 리스크 관리 글들도 이 숫자들을 넌지시 언급합니다. 여기서는 실제로 계산합니다. 이 주제의 핵심은 직관은 거짓말을 하지만 산술은 그렇지 않다는 것이기 때문입니다.

드로다운의 비대칭성

트레이딩에서 가장 중요하면서도 가장 직관에 반하는 사실부터 시작합시다: 이익과 손실은 대칭이 아닙니다. 10%를 잃으면 10%만 다시 벌면 된다고 생각하기 쉽지만 그렇지 않습니다. 더 많이 벌어야 합니다. 왜냐하면 이제 더 작아진 자본 더미를 불려야 하기 때문입니다. 손실 후 필요한 회복 수익률은 손실 / (1 − 손실)입니다.

이 공식을 돌려보면 숫자는 순식간에 험악해집니다. 10% 손실은 11% 수익이 있어야 본전이 되고, 이 정도는 그럴 만하다고 느껴집니다. 50% 손실은 100% 수익이 필요합니다. 75% 손실은 300% 수익이 필요합니다. 손실이 커질수록 구덩이는 직선적으로 깊어지는 게 아니라 가속도로 깊어집니다.

이것이 이 주제 전체의 감정적 닻입니다. 50% 하락한 트레이더는 0까지 절반쯤 온 것이 아니라, 시장이 그 피해를 되돌리기 위해서만이라도 자신의 돈을 두 배로 불려줘야 하는 위치에 있는 것입니다. 그래서 근본 전략이 멀쩡해도 깊은 드로다운은 계좌를 죽입니다. 전략이 연 15%를 꾸준히 낸다 해도, 연 15%로는 신경, 자본, 혹은 둘 다를 잃기 전에 100% 회복이 필요한 구덩이에서 빠져나올 수 없습니다. 이제부터 이어지는 모든 내용은 애초에 그 구덩이에 절대 들어가지 않는 것에 관한 이야기입니다.

기대값: 승률이 거짓말쟁이인 이유

초보 트레이더들은 승률에 집착합니다. 이기는 것이 옳다는 느낌을 주기 때문입니다. 하지만 승률 자체는 전략이 돈을 버는지에 대해 거의 아무것도 말해주지 않습니다. 중요한 것은 기대값, 즉 얼마나 자주 이기는지와 이길 때와 질 때 각각 얼마씩인지를 함께 고려했을 때 거래당 평균적으로 얼마를 벌거나 잃을 것으로 예상되는가입니다.

1R이 거래에서 감수하는 위험 금액인 R-배수로 표현하면, 공식은 다음과 같습니다:

기대값 = (승률 × 평균 이익(R)) − (패율 × 평균 손실(R))

R-배수로 작업하는 것은 손익비가 의존하는 것과 동일한 규율입니다. 이렇게 하면 주식 거래와 외환 거래를 같은 척도에서 비교할 수 있는데, 모든 것이 기꺼이 감수하려던 손실 단위로 측정되기 때문입니다. 이제 그럴듯한 세 가지 전략에 대해 실제로 계산했을 때 무슨 일이 일어나는지 봅시다.

추세추종 트레이더는 60% 확률로 지면서도 여전히 돈을 법니다: 0.4 × 2 − 0.6 × 1 = 거래당 +0.20R. 스캘퍼는 70% 확률로 이기면서도 서서히 자본을 갉아먹습니다: 0.7 × 0.4 − 0.3 × 1 = 거래당 −0.02R. 대부분의 거래에서 이기는 것과 파산하는 것은 완벽히 양립할 수 있으며, 대부분의 거래에서 지는 것과 부자가 되는 것 역시 완벽히 양립할 수 있습니다. 이것이 바로 매매일지가 계속 강조하는 요점입니다: 승률이 아니라 기대값을 추적하세요. 승률은 여러분이 0으로 향하는 내내 미소를 지어줄 수 있으니까요.

플러스 기대값을 가진 엣지는 필요조건이지만 충분조건은 아닙니다. 기대값은 그 게임이 해볼 가치가 있다는 것을 말해줍니다. 그 게임이 실제로 진행되는 방식에서 살아남을 수 있는지는 말해주지 않습니다.

연패는 가능성이 아니라 확실성이다

여기서부터 생존이 본격적으로 문제가 됩니다. 트레이더들은 긴 연패를 불운, 이례적인 사건, 남에게나 일어나는 일로 취급합니다. 그것은 이례적인 사건이 아닙니다. 유의미한 거래 횟수에 걸쳐서는 연패가 통계적으로 확실한 일이며, 위의 회복 표만큼이나 간단한 산술로 증명할 수 있습니다.

N번의 거래 중 길이 k의 연패가 발생할 것으로 예상되는 횟수는 대략 (N − k + 1) × (패율)^k입니다. 승률 50%인 동전 던지기 전략을 200번의 거래에 적용해봅시다. 이는 활발히 거래하는 사람에게는 소박한 거래량입니다. 숫자를 넣어보면:

• 5연패: 약 6번 발생 예상.
• 6연패: 약 3번.
• 7연패: 대략 1~2번.

여러분은 어쩌면 힘든 시기를 맞이할 수도 있다가 아닙니다. 여러 번 맞이하게 될 것이며, 그중 적어도 하나는 전략 전체를 의심하게 만들 만큼 길 것입니다. 연패의 심리학이 실제로 계좌가 죽는 지점입니다. 연패 자체는 견뎌낼 수 있지만, 연패가 유발하는 복수매매, 두 배로 늘린 베팅 규모, 그리고 버려진 계획은 견뎌낼 수 없습니다. 수학은 연패가 온다고 말합니다. 여러분의 임무는 그것이 자신의 행동을 바꾸도록 허용하지 않겠다고 미리 결정해두는 것입니다.

파산 위험: 왜 베팅 규모가 모든 것을 결정하는가

이제 두 사실을 합쳐봅시다. 연패는 다가오고 있고, 드로다운은 여러분을 비선형적으로 벌합니다. 이 둘을 연결하는 변수, 그리고 여러분이 완전히 통제할 수 있는 변수는 거래당 얼마를 위험에 노출시키는가입니다. 동일한 7연패라도 어떤 베팅 규모에서는 아무것도 아니게 느껴지지만 다른 베팅 규모에서는 재앙처럼 느껴집니다.

7연패는 (1 − 위험비율)^7로 복리 작용을 합니다. 위험 1%에서는 0.99^7 = 0.9321, 즉 6.8%의 드로다운입니다. 짜증나지만 일주일이면 잊혀집니다. 위험 10%에서는 같은 연패가 0.90^7 = 0.4783, 즉 52%의 드로다운입니다. 같은 엣지, 같은 연패지만, 이제 시장은 원래 자리로 돌아가기 위해서만이라도 109%의 수익을 안겨줘야 합니다. 전략을 바꾼 게 아닙니다. 숫자 하나를 바꿨을 뿐이고, 그것이 트레이더로서의 커리어가 있을지 없을지를 바꿔놓았습니다.

같은 이야기가 그림으로 보면 더욱 극명해집니다. 동일한 불운이 각 베팅 규모에서 만들어내는 드로다운은 다음과 같습니다:

이 형태를 주목하세요. 위험을 1%에서 2%로 두 배 늘리면 드로다운도 대략 두 배가 되는데, 이는 관리 가능해 보입니다. 하지만 5%에서 10%로 가면 회복 가능한 30%의 구덩이에서 52%의 무덤으로 넘어갑니다. 손실의 복리 효과도 이익의 복리 효과와 똑같이 가속되지만, 이번에는 여러분에게 불리하게 작용하기 때문입니다. 이것이 1% 포지션 사이징 규칙의 존재 이유입니다. 소심한 것이 아닙니다. 정상적이고 통계적으로 보장된 연패가 부고 기사가 아니라 각주에 그치는 베팅 규모인 것입니다. 엣지가 깊은 구덩이에서 힘겹게 빠져나올 필요가 없습니다. 애초에 그 구덩이가 깊어지도록 내버려두지 않았기 때문입니다.

켈리 공식에 대한 짧고 솔직한 이야기

수학적으로 최적인 베팅 규모를 찾으려 한다면 켈리 기준(Kelly criterion)을 발견하게 될 것입니다. 이는 여러분의 엣지가 주어졌을 때 장기 성장을 극대화하는 자본 비율을 계산합니다. 우아하고 실제로 유효합니다. 하지만 거의 모든 트레이더에게는 그대로 쓰기에는 너무 공격적입니다. 켈리 공식은 여러분이 자신의 엣지를 정확히 알고 있다고 가정하지만, 실제로는 그렇지 않습니다. 여러분의 승률과 평균 이익은 잡음이 낀 추정치이며, 바로 이 추정치가 백테스트가 성과를 과대평가하는 전체 이유입니다. 과대평가된 엣지를 켈리 공식에 넣으면 너무 많이 걸라고 알려주게 되고, 곧장 위에서 본 드로다운으로 이어집니다. 그래서 이를 실제로 사용하는 실무자들은 하프 켈리(half-Kelly) 이하를 사용합니다. 이 교훈은 일반화됩니다: 입력값이 불확실할 때는 최적 수학이 제안하는 것보다 더 작게 걸어야지, 더 크게 걸어서는 안 됩니다.

핵심 요약

파산 위험은 포지션 사이징이 무엇을 위한 것인지 재구성합니다. 그것은 수익을 극대화하기 위한 도구가 아니며, 그런 식으로 취급하는 것이 좋은 전략이 폭발하는 방식입니다. 그것은 변동성과 연패의 저편에서 여러분의 엣지가 마침내 발현될 때, 여러분이 여전히 지급 능력을 가지고 여전히 거래를 하고 있을 것이라는 보장입니다.

• 드로다운은 비대칭적입니다: -50%는 회복에 +100%가 필요하고, -75%는 +300%가 필요합니다. 깊은 구덩이는 피하십시오. 거기서 기어 올라올 계획을 세우지 마십시오.
• 전략이 돈을 버는지 알려주는 것은 승률이 아니라 기대값입니다. 40% 승률로도 수익을 낼 수 있고, 70% 승률로도 자본을 갉아먹을 수 있습니다.
• 연패는 어떤 실제 표본 크기에서도 확실합니다. 지금 미리 그것이 여러분의 베팅 규모를 바꾸지 않을 것이라고 결정해두십시오.
• 생존을 결정하는 것은 대개 엣지가 아니라 베팅 규모입니다. 동일한 7연패라도 위험 1%에서는 -6.8%지만 위험 10%에서는 -52%입니다.
• 엣지 추정치가 불확실할 때는 최적 수학이 제안하는 것보다 더 작게 걸어야지, 더 크게 걸어서는 안 됩니다.

변동성을 견뎌낼 수 없는 엣지는 진정으로 소유한 엣지가 아닙니다. 포지션 사이징은 통계적 우위를 실제로 지킬 수 있는 돈으로 바꿔주는 것입니다.

면책조항: 이 콘텐츠는 교육 목적으로만 제공되며 금융 조언을 구성하지 않습니다. 트레이딩은 상당한 손실 위험을 수반합니다. 과거 성과가 미래 결과를 보장하지 않습니다.