破産確率：生き残れるかどうかを決める数学

トレードに関するアドバイスの大半は、エッジ（優位性）を見つけることに関するものだ。この記事が扱うのは、あなたがそのエッジを使えるほど長く生き残れるかどうかを決めるものについてである。破産確率（リスク・オブ・ルイン）とは、トレード数学の一分野であり、ただ一つの問いに答える。あなたのエッジ、賭け金の大きさ、そして必ず直面する変動性を前提として、戦略が実を結ぶ前に破産してしまう確率はどれくらいか、という問いだ。不都合な真実は、利益を出すトレーダーと口座を吹き飛ばしたトレーダーが、まったく同じ戦略を運用していることがあり得るという点だ。違いは通常エッジではない。1トレードあたりどれだけリスクを取ったか、そして生存の数学が自分の味方についていたかどうかだ。

このサイトの他のリスク管理関連の記事も、こうした数字をほのめかしている。ここではそれを実際に計算する。なぜならこのテーマの要点は、直感は嘘をつくが算術は嘘をつかないという点にあるからだ。

ドローダウンの非対称性

まずトレードにおける最も重要で、最も直感に反する事実から始めよう。利益と損失は対称ではない。10%失っても、10%取り戻せばいいわけではない。それ以上が必要になる。なぜなら今や、より少なくなった資本を増やそうとしているからだ。損失後に必要な回復益は損失 / (1 − 損失)で表される。

この公式を計算してみると、数字は急速に厳しくなる。10%の損失には11%の利益で損益分岐点に達する。これはまだ妥当に感じられる。しかし50%の損失には100%の利益が必要になる。75%の損失には300%の利益が必要だ。損失が増えるにつれて穴は直線的に深くなるのではなく、加速していく。

これがこのテーマ全体の感情的な支柱となる。50%の損失を出しているトレーダーは、ゼロまでの半分の地点にいるわけではない。むしろ、被害を元に戻すためだけに市場が資金を倍にしてくれなければならない状況にいるのだ。だからこそ、深いドローダウンは、根本の戦略が問題なくても口座を殺す。その戦略は年15%を確実に生み出せるかもしれないが、年15%では、勇気や資金、あるいはその両方を失う前に、100%回復が必要な穴から抜け出すことはできない。以下に続く内容はすべて、そもそもその穴に落ちないことについてのものだ。

期待値：なぜ勝率は嘘をつくのか

新米トレーダーは勝率にこだわる。なぜなら勝つことは正しかったように感じられるからだ。しかし勝率単体では、戦略が儲かるかどうかについてほとんど何も教えてくれない。重要なのは期待値である。つまり、勝つ頻度と、勝ったとき・負けたときの金額の両方を考慮した上で、1トレードあたり平均でいくら稼ぐ（あるいは失う）と期待できるかということだ。

Rの倍数（1Rはそのトレードでリスクにさらす金額）で表すと、公式は次のようになる：

期待値 = (勝率 × 平均勝ちR) − (敗率 × 平均負けR)

Rの倍数で考えるという規律は、リスクリワード比が依拠しているものと同じだ。すべてを「あなたが失うことをいとわなかった額」の単位で測ることで、株式トレードとFXトレードを同じ尺度で比較できるようになる。では、3つのもっともらしい戦略について実際に計算するとどうなるか見てみよう。

トレンドフォロワーは60%の確率で負けても、それでも儲かる：0.4 × 2 − 0.6 × 1 = 1トレードあたり+0.20R。スキャルパーは70%の確率で勝つが、じわじわと資金を失っていく：0.7 × 0.4 − 0.3 × 1 = 1トレードあたり−0.02R。ほとんどのトレードで勝つことは破産することと完全に両立し、ほとんどのトレードで負けることは金持ちになることと完全に両立する。これはまさにトレード日誌が繰り返し強調している点だ。勝率ではなく期待値を追跡せよ。なぜなら勝率はあなたに微笑みかけながら、ゼロまで導いていくことがあるからだ。

プラスのエッジは必要条件であって十分条件ではない。期待値はそのゲームをプレイする価値があるかどうかを教えてくれる。しかし、そのゲームがプレイされる仕方に耐えて生き残れるかどうかまでは教えてくれない。

連敗は「あり得る」のではなく「確実に起こる」

ここから生存の問題が牙をむき始める。トレーダーは長い連敗を不運、外れ値、他人にだけ起こることとして扱う。しかしそれは外れ値ではない。ある程度意味のある数のトレードを行えば、連敗は統計的にほぼ確実に起こる。そしてそれは、上の回復表と同程度の易しい算術で証明できる。

N回のトレードの中で長さkの連敗が起こる期待回数は、おおよそ(N − k + 1) × (敗率)^kで表される。勝率50%のコイントス的な戦略を200トレード行うとしよう。これは活発なトレーダーにとってはささやかな取引量だ。数字を当てはめてみよう：

• 5連敗の発生：期待値でおよそ6回。
• 6連敗の発生：およそ3回。
• 7連敗の発生：1〜2回程度。

あなたは「もしかしたら」厳しい局面に遭遇するのではない。実際に何度も遭遇するのであり、そのうち少なくとも一つは、戦略全体を疑いたくなるほど長く続く。連敗の心理学が語るのは、口座が実際に死ぬ場所だ。連敗そのものは生き残れる。しかし連敗が引き起こす復讐トレード、倍増したサイズ、放棄された計画は生き残れない。数学は連敗が来ることを示している。あなたの仕事は、それが自分の行動を変えることを許さないと、あらかじめ決めておくことだ。

破産確率：なぜ賭け金のサイズがすべてを決めるのか

ここで2つの事実を組み合わせてみよう。連敗はやって来るし、ドローダウンは非線形にあなたを罰する。それらをつなぐ変数、そしてあなたが完全に制御できる変数こそが、1トレードあたりどれだけリスクを取るかである。同じ7連敗でも、ある賭け金サイズでは何でもないが、別のサイズでは破滅的なものになる。

7連敗は(1 − リスク)^7として複利計算される。リスク1%の場合、0.99^7 = 0.9321であり、ドローダウンは6.8%となる。イライラはするが、1週間で忘れられる程度だ。リスク10%の場合、同じ連敗は0.90^7 = 0.4783であり、ドローダウンは52%となる。同じエッジ、同じ連敗であっても、今度は元の水準に戻るために市場が109%の利益をもたらしてくれなければならない。あなたは戦略を変えなかった。1つの数字を変えただけだ。しかしそれが、トレーダーとしてのキャリアがあるかどうかを左右した。

同じ話を図にすると、さらに衝撃的だ。ここに、まったく同じ不運が各賭け金サイズで生み出すドローダウンを示す：

この形状に注目してほしい。リスクを1%から2%へと倍にすると、ドローダウンもおおよそ倍になる。これは管理可能に聞こえる。しかし5%から10%になると、回復可能な30%の穴から52%の墓穴へと転落する。損失の複利効果は利益の複利効果とまったく同じように加速するが、今度はあなたに不利な方向に働くからだ。これこそが1%ポジションサイジングルールの存在理由すべてだ。それは臆病なのではない。統計的に保証された通常の連敗が、死亡記事ではなく脚注で済むような賭け金サイズなのである。エッジは深い穴から這い上がる必要がない。なぜなら、そもそも穴を深くさせないからだ。

ケリー基準についての簡潔で正直な一言

数学的に最適な賭け金サイズを探そうとすると、ケリー基準に行き着くだろう。これは、あなたのエッジを前提として長期的な成長を最大化する資本の割合を計算するものだ。それは洗練されていて、実在するものだ。しかしほぼすべてのトレーダーにとって、それをそのまま使うにはあまりに攻撃的すぎる。ケリー基準は、あなたが自分のエッジを正確に知っていることを前提としているが、実際にはそうではない。あなたの勝率や平均勝ち額はノイズを含む推定値であり、それこそがバックテストがパフォーマンスを過大評価する理由でもある。過大評価されたエッジをケリーに入力すると、はるかに大きすぎる賭け金を勧めてくることになり、まさに上述のドローダウンへと真っ直ぐ突入する。だからこそ、それを使う実践者はハーフケリー以下を用いる。この教訓は一般化できる。入力が不確実なときは、最適な数学が示す額よりも小さく賭けること。大きく賭けてはいけない。

重要な要点

破産確率は、ポジションサイジングが何のためにあるかを再定義する。それはリターンを最大化するためのツールではない。そのように扱うことこそが、優れた戦略を吹き飛ばす原因となる。それは、変動性と連敗の向こう側で、あなたのエッジがついに発揮されるときに、まだ自分が支払い能力を保ち、まだトレードを続けていることを保証するものなのだ。

• ドローダウンは非対称である：-50%には+100%の回復が必要、-75%には+300%が必要。深い穴を避けよ。そこから這い上がる計画を立てるな。
• 戦略が儲かるかどうかを教えてくれるのは勝率ではなく期待値だ。勝率40%でも利益が出ることがあり、勝率70%でも資金が流出することがある。
• 連敗は、実質的なサンプルサイズがあれば確実に起こる。連敗が自分の賭け金サイズを変えさせないと、今すぐ決めておくこと。
• 生存を決めるのは通常、エッジではなく賭け金サイズである。同じ7連敗でも、リスク1%なら-6.8%、リスク10%なら-52%になる。
• 自分のエッジの推定値が不確実なときは、最適な数学が示すよりも小さく賭けよ。大きく賭けてはいけない。

その変動性に耐えて生き残れないエッジは、あなたが所有しているエッジとは言えない。ポジションサイジングこそが、統計的優位性を、実際に手元に残るお金へと変える仕組みなのだ。

免責事項：本コンテンツは教育目的のみを目的としており、金融アドバイスを構成するものではありません。トレードには重大な損失リスクが伴います。過去の実績は将来の結果を保証するものではありません。