Risque de ruine : les mathématiques qui déterminent si vous survivez

La plupart des conseils de trading portent sur la recherche d'un avantage. Cet article porte sur ce qui détermine si vous vivrez assez longtemps pour en exploiter un. Le risque de ruine est la branche des mathématiques du trading qui répond à une seule question : compte tenu de votre avantage, de la taille de vos positions et de la variance à laquelle vous serez inévitablement confronté, quelles sont les chances que vous fassiez faillite avant que votre stratégie ne porte ses fruits ? La vérité inconfortable est qu'un trader rentable et un compte explosé peuvent exécuter exactement la même stratégie. La différence n'est généralement pas l'avantage. C'est le montant risqué par trade, et le fait de savoir si les mathématiques de la survie ont été de votre côté.

Les autres articles sur la gestion du risque de ce site évoquent ces chiffres. Ici, nous les calculons, car tout l'enjeu de ce sujet est que l'intuition ment et que l'arithmétique ne ment pas.

L'asymétrie des drawdowns

Commençons par le fait le plus important et le moins intuitif du trading : les gains et les pertes ne sont pas symétriques. Perdez 10 % et vous n'avez pas besoin de regagner 10 %. Il vous en faut plus, car vous faites maintenant croître un capital plus petit. Le gain de récupération nécessaire après une perte est perte / (1 − perte).

Appliquez cette formule et les chiffres deviennent vite dramatiques. Une perte de 10 % nécessite un gain de 11 % pour revenir à l'équilibre, ce qui semble raisonnable. Une perte de 50 % nécessite un gain de 100 %. Une perte de 75 % nécessite un gain de 300 %. Le trou ne s'approfondit pas de manière linéaire à mesure que vous perdez davantage, il s'accélère.

C'est l'ancrage émotionnel de tout ce sujet. Un trader qui a perdu 50 % n'est pas à mi-chemin de zéro, il se trouve dans une position où le marché doit doubler son argent juste pour annuler les dégâts. C'est pourquoi les drawdowns profonds tuent les comptes même quand la stratégie sous-jacente est saine. La stratégie peut rapporter de manière fiable 15 % par an, mais 15 % par an ne vous sortent pas d'un trou nécessitant une récupération de 100 % avant que vous ne perdiez votre sang-froid, votre capital, ou les deux. Tout ce qui suit consiste à ne jamais entrer dans ce trou en premier lieu.

L'espérance : pourquoi le taux de réussite ment

Les nouveaux traders sont obsédés par le taux de réussite parce que gagner donne l'impression d'avoir raison. Mais le taux de réussite en soi ne vous dit presque rien sur le fait qu'une stratégie soit rentable ou non. Ce qui compte, c'est l'espérance : le montant moyen que vous pouvez espérer gagner ou perdre par trade, en tenant compte à la fois de la fréquence de vos gains et de leur ampleur par rapport à vos pertes.

Exprimée en multiples de R, où 1R est le montant que vous risquez sur un trade, la formule est :

Espérance = (Taux de réussite × Gain moyen en R) − (Taux de perte × Perte moyenne en R)

Travailler en multiples de R relève de la même discipline dont dépend le ratio risque-rendement : cela vous permet de comparer un trade sur actions et un trade sur devises à la même échelle, car tout est mesuré en unités de ce que vous étiez prêt à perdre. Observez maintenant ce qui se passe lorsque vous le calculez réellement pour trois stratégies plausibles.

Le suiveur de tendance perd 60 % du temps et gagne quand même de l'argent : 0,4 × 2 − 0,6 × 1 = +0,20R par trade. Le scalpeur gagne 70 % du temps et se vide lentement : 0,7 × 0,4 − 0,3 × 1 = −0,02R par trade. Gagner la plupart de vos trades est parfaitement compatible avec la faillite, et en perdre la plupart est parfaitement compatible avec l'enrichissement. C'est exactement ce que ne cesse de marteler le journal de trading : suivez l'espérance, pas votre taux de réussite, car votre taux de réussite peut vous sourire jusqu'à zéro.

Un avantage positif est nécessaire mais pas suffisant. L'espérance vous dit que le jeu vaut la peine d'être joué. Elle ne vous dit pas si vous pouvez survivre à la manière dont il est joué.

Les séries perdantes sont certaines, pas seulement possibles

C'est là que la survie commence à mordre. Les traders considèrent une longue série de pertes comme de la malchance, un événement exceptionnel, quelque chose qui arrive aux autres. Ce n'est pas un événement exceptionnel. Sur un nombre significatif de trades, les séries perdantes sont une certitude statistique, et vous pouvez le prouver avec une arithmétique pas plus difficile que le tableau de récupération ci-dessus.

Le nombre attendu de séries perdantes de longueur k sur N trades est approximativement (N − k + 1) × (taux de perte)^k. Prenez une stratégie de pile ou face avec un taux de réussite de 50 % sur 200 trades, ce qui représente un volume de trading modeste pour quiconque est actif. Intégrez les chiffres :

• Séries de 5 pertes consécutives : environ 6, en moyenne.
• Séries de 6 pertes : environ 3.
• Séries de 7 pertes : de l'ordre d'une à deux.

Vous n'allez pas peut-être traverser une mauvaise passe. Vous allez en traverser plusieurs, et au moins une d'entre elles sera assez longue pour vous faire remettre en question toute la stratégie. La psychologie d'une série perdante est l'endroit où les comptes meurent réellement : la série elle-même est survivable, mais le trade de revanche, la taille doublée, et le plan abandonné que la série provoque ne le sont pas. Les mathématiques disent que la série va arriver. Votre travail est d'avoir déjà décidé qu'elle ne peut pas changer votre comportement.

Risque de ruine : pourquoi la taille des positions décide de tout

Réunissons maintenant ces deux faits. Une série perdante arrive, et les drawdowns vous punissent de manière non linéaire. La variable qui les relie, et celle que vous contrôlez totalement, est le montant que vous risquez par trade. La même série de sept pertes est ressentie comme insignifiante à une certaine taille de pari et comme une catastrophe à une autre.

Une série de sept pertes se compose comme (1 − risque)^7. À un risque de 1 %, cela donne 0,99^7 = 0,9321, soit un drawdown de 6,8 %. Agaçant, oublié en une semaine. À un risque de 10 %, la même série donne 0,90^7 = 0,4783, soit un drawdown de 52 %. Même avantage, même série, mais maintenant le marché doit vous offrir un gain de 109 % juste pour revenir à votre point de départ. Vous n'avez pas changé votre stratégie. Vous avez changé un seul chiffre, et cela a changé le fait d'avoir ou non une carrière.

La même histoire est encore plus frappante en image. Voici le drawdown que la même malchance produit à chaque taille de pari :

Remarquez la forme. Doubler le risque de 1 % à 2 % double à peu près le drawdown, ce qui semble gérable. Mais passer de 5 % à 10 % vous fait passer d'un trou récupérable de 30 % à une tombe de 52 %, parce que les pertes composées s'accélèrent de la même manière que les gains composés, mais contre vous. C'est tout l'argument en faveur de la règle des 1 % de taille de position. Ce n'est pas de la timidité. C'est la taille de pari à laquelle une série perdante normale et statistiquement garantie devient une note de bas de page plutôt qu'une nécrologie. L'avantage n'a pas besoin de se frayer un chemin hors d'un trou profond, parce que vous ne laissez jamais le trou devenir profond.

Un mot bref et honnête sur Kelly

Si vous cherchez la taille de pari mathématiquement optimale, vous trouverez le critère de Kelly, qui calcule la fraction du capital qui maximise la croissance à long terme compte tenu de votre avantage. C'est élégant et c'est réel. C'est aussi, pour presque tous les traders, trop agressif pour être utilisé tel quel. Kelly suppose que vous connaissez votre avantage avec exactitude, ce qui n'est pas le cas. Votre taux de réussite et votre gain moyen sont des estimations bruitées, les mêmes estimations qui expliquent en grande partie pourquoi les backtests surestiment la performance. Introduisez un avantage surestimé dans Kelly et il vous dira de miser bien trop, vous plongeant directement dans les drawdowns décrits ci-dessus. C'est pourquoi les praticiens qui l'utilisent optent pour le demi-Kelly ou moins. La leçon se généralise : lorsque vos données d'entrée sont incertaines, misez moins que ce que suggèrent les mathématiques optimales, pas plus.

Points clés à retenir

Le risque de ruine redéfinit à quoi sert le dimensionnement des positions. Ce n'est pas un outil pour maximiser les rendements, et le traiter ainsi est la façon dont de bonnes stratégies finissent par exploser. C'est la garantie que vous êtes toujours solvable et toujours en activité lorsque votre avantage finit par s'exprimer, de l'autre côté de la variance et des séries perdantes.

• Les drawdowns sont asymétriques : -50 % nécessite +100 % pour récupérer, -75 % nécessite +300 %. Évitez le trou profond, ne prévoyez pas d'en sortir.
• C'est l'espérance, pas le taux de réussite, qui vous indique si une stratégie est rentable. Un gagnant à 40 % peut être rentable et un gagnant à 70 % peut se vider.
• Les séries perdantes sont certaines sur tout échantillon réel. Décidez dès maintenant qu'elles ne changeront pas la taille de vos paris.
• La taille du pari, pas l'avantage, décide généralement de la survie. La même série de 7 pertes équivaut à -6,8 % à 1 % de risque et à -52 % à 10 % de risque.
• Lorsque votre estimation de l'avantage est incertaine, misez moins que ce que suggèrent les mathématiques optimales, pas plus.

Un avantage dont vous ne pouvez pas survivre à la variance n'est pas un avantage que vous possédez réellement. Le dimensionnement des positions est ce qui transforme un avantage statistique en argent que vous conservez réellement.

Avertissement : Ce contenu est fourni à des fins éducatives uniquement et ne constitue pas un conseil financier. Le trading comporte un risque de perte substantiel. Les performances passées ne garantissent pas les résultats futurs.